bonjour,
pour l'item D, comment est ce qu'on fait pour calculer l'IP quand on n'a pas le nombre de personnes dans l'échantillon ? dans la correction on applique la formule sans diviser par n. y a t'il une formule générale qui n'implique pas n?
merci d'avance
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Soient \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) la longueur du fémur et \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) sa variable centrée réduite.
\[
P(X < 6.4) = 0.5 \text{ ou la médiane d’une loi symétrique est égale à sa moyenne donc } \mu = 6.4
\]
\[
P(X < 7) = 0.9 \implies P\left(Z < \frac{7-6.4}{0.6}\right) = 0.9
\]
D'après la table de la loi normale centrée réduite, \(P(Z < a) = 0.9\) pour \(a = u_{0.2} = 1.282\),
\[
\frac{0.6}{1.282} \approx \sigma \approx 0.468
\]
A. \(P(X > 5.8) \approx P\left(Z > \frac{5.8-6.4}{0.468}\right) = -1.282\) \(\approx 1 - \frac{1}{2} \approx 0.9\); on peut également remarquer que 5.8 est symétrique de 7 par rapport à 6.4 donc \(P(X > 5.8) = P(X < 7)\)
Par ailleurs, calcul initial car \(P(X > 5.8) > P(X > 6.4) = 0.5\),
D.\[F(6.7) - F(6.1) = P(X < 6.7) - P(X < 6.1) \approx P\left(Z < \frac{6.7-6.4}{0.468} - \frac{6.1-6.4}{0.468}\right) \approx 0.48
\]
\[
P\left(Z < \frac{6.1-6.4}{0.468}\right) \approx 0.48
\]
On peut également remarquer que l’intervalle est centré sur \(\mu = 6.4\) donc :
\[
P(X \in [6.4 - a; 6.4 + a]) = 0.95 \implies P\left(Z \in \left[-\frac{a}{0.468}, \frac{a}{0.468}\right]\right) = 0.95
\]
\[
a \approx 1.96 \cdot 0.468 = 0.917
\]
Dans 95\% des cas, la longueur du fémur sera comprise dans l'intervalle \([6.4 - a; 6.4 + a] = [5.48; 7.32]\).
E. Soit \(Y\) le nombre d’échographies avec longueur du fémur inférieure à 5.8 cm parmi 5 échographies. \(Y\) suit une loi binomiale \(Y \sim B(n = 5, \pi = P(X < 5.8))\).
\[
P(X < 5.8) = 1 - P(X > 5.8) \approx 0.1 \text{ (cf. proposition A)}
\]
La probabilité que la longueur du fémur soit inférieure à 5.8 cm sur au moins une échographie parmi 5 est \(P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - \pi)^5 = 1 - P(X > 5.8)^5 \approx 0.41\).
TRGE RM Biostats RM Membre Sup RP Annales S1 et S2 DFGSM2
